Ensuite, le conférencier revient sur Henri Poincaré lui-même et les années 1880-1881 qui seront déterminantes dans sa vie et dans son oeuvre.

Enfin, Étienne Ghys expose de manière visuelle et ludique les principes de la géométrie non-euclidienne et de quelle manière Poincaré relie finalement les groupes fuchsiens à cette nouvelle géométrie.

Dans une première partie, Étienne Ghys explique l'importance de la notion de groupe en mathématiques.