例題 2 與例題 3 介紹了兩個有理數集的切割；這兩個切割在大空間是有理數集的情況下，「最小上界」一個存在另一個不存在。這個錄音檔是給予證明。下一個錄音檔就要開始說明這件事情和實數之間的關聯。 Powered by Firstory Hosting

這個錄音檔先證明的是，若集合 E 包含於有序集 S 的最小上界存在，則唯一。特別注意的是 ：這個定理是接受最小上界存在，才證唯一性。至於一個集合的最小上界存在與否，這個定理並沒有說明，我們要用別的方法證明。 Powered by Firstory Hosting

認識實數的完備性，第一步是先定義「切割」；第二步是定義集合 E 在有序集 S 的「最小上界」。到時候要用這個概念區分例題 2 與例題 3 切割的最大差異，進而了解實數的意義。 Powered by Firstory Hosting

例題 3 再用一個例子示範何謂有理數集的切割。這個例子除了要細細體會怎麼去造 r" 以完成切割的第三個條件外，到時候我們要花時間比較例題 2 與例題 3 的切割之最大差異，這就會關係到實數的意義。 Powered by Firstory Hosting

從戴德金切割原理認識實數的完備性，第一步是引進有理數集「切割」(cut) 的意思。這個錄音檔會解釋切割的定義，並用一個例題說說何謂有理數的切割。 Powered by Firstory Hosting

在進入戴德金切割原理以建立實數系之前，先問問自己對於實數的認識有多少，不一會兒就會發現自己對於實數一知半解，其實這是台灣數學教育的問題，但似乎短時間內無法徹底解決。 但我們就繼續向前看，重新體會有理數和實數的異同。下一個錄音檔就要開始介紹戴德金切割法。 Powered by Firstory Hosting

實數系的建構是從有理數系而來，單元 1.1 將介紹有理數的基本性質，包括「體」(field) 與「全序關係」(totally ordered relation)。在這門課中，這些條文各位應覺得自然而直接使用。而這些內容是為了下一節建構實數的完備性而做準備。 Powered by Firstory Hosting

該錄音檔是對第一章的簡介，在學習高等微積分(數學分析)之前必須先了解實數系是什麼。 Powered by Firstory Hosting

結語，讓我們從結語當作開始，聊開話題，聊聊高等微積分。 Powered by Firstory Hosting

這個小節是分享關於高年級修課同學的心得。 Powered by Firstory Hosting

這個小節是分享關於外系修課同學的心得。 Powered by Firstory Hosting

這個小節是分享關於大二修課同學的心得。 Powered by Firstory Hosting

經過108 學年度順利帶完一個班級的高等微積分課程，對這些修過課的同學而言，他們又是怎麼認識並看待這門課程, 這是我感到好奇的地方。 這個章節，找了幾位同學分享這一年的學習心得。 Powered by Firstory Hosting

當你看到作業成績 90 分時有何感想 ? 當你寫錯東西，你會把所有錯誤擦掉嗎 ? 這個小節要和來各位聊聊，關於【分數】能解釋什麼事情，以及作業可以怎麼寫，已即將要、正在修門課的同學，如何在課堂上建立屬於我們的默契 ? Powered by Firstory Hosting

第 0.7 章這個系列，是針對彰師大數學系二年級由李國瑋老師開設的年度必修【高等微積分】課程設計中關於作業的安排理念做說明。 在 0.7 章會跟各位聊聊有關本門課的【作業設計原理】以及下一小節的【學生如何看待作業?】。 雖然是針對校系開課的特別說明，但關於學生的部分，絕大部分都值得參考，無論校系科目。 Powered by Firstory Hosting

不曉得大家有沒有想過一個問題: 學生在課堂上是要學些什麼呢? 我想多數人一定會說: 「這有什麼好問的? 當然就是學習這個科目的學問啊!」這個回答當然沒有錯, 但是我更想了解的是: 「在課堂中各位是透過什麼方法或做了哪些事然後學到東西呢? 」 這個小節，就來和各位聊聊ㄧ些關於我的學習經驗，以及上課的一些小觀察。 Powered by Firstory Hosting

課堂上當你發現老師寫錯，你有自信舉手糾正嗎? 學生上大學後對處理數學的信心愈來愈不足。 想當初你可能在中學時期被冠上數學神童或數學天才之名，怎麼一進大學之後就完全崩盤了呢? 這一小節來和各位聊聊數學自信以及有什麼資源建立一套屬於自己解決問題的能力。 Powered by Firstory Hosting

我們常常遇到困難，但所謂的困難指的是什麼 ? 這一小節來和各位聊聊，遇到困難有什麼系統性的解決方案? Powered by Firstory Hosting

放假狂玩不讀書，開學狂讀書不玩樂，算是有效率的讀書方式嗎? 不只是學好高等微積分，一般的數學專業科目，甚至更一般的科目是不是有建議的讀書方法? 這一節就和各位來聊聊，試著從學習的角度出發，提供幾個學高等微積分的大原則，甚至我覺得這些原則也適用於一般的數學學科，各位應該試一試。 Powered by Firstory Hosting

高等微積分的課程，時常會看到定義、定理，在看一個定義、定理的時候，有哪些需要注意的事情? 在數學寫作的部分，有哪寫方式可以提升自我寫作能力? 這一節就來跟各位聊聊關於提升個人數學素養的幾個討論。 Powered by Firstory Hosting

在著手學習高等微積分的主題時, 除了跟著教材逐字逐句理解之外，我們還可以用什麼不同的角度領略數學的內容呢? 0.4 將提出五種面向供各位參考。 這一節，跟各位聊聊數學的每個邏輯論述中，存在、唯一、所有、指定等關係是什麼。 Powered by Firstory Hosting

微積分的研究主體是《極限》，《極限》是一個很複雜的概念，若把極限這個概念融入數學系統中，那麼數學上所有大小事都必須重新討論。 這一單元來跟各位聊聊極限的世界中有什麼數學上的特色。 Powered by Firstory Hosting

你聽過「希爾伯特旅館」的故事嗎? 在初等微積分階段，對於有限和無限的討論可能並沒有那麼深入，但在高等微積分中「有限」與「無限」卻是很重要的思維。 這一個單元來跟各位聊聊「有限」與「無限」在數學中是代表什麼意思，它們之間有什麼差異。 Powered by Firstory Hosting

論述的邏輯中經常有先後順序的關係，就像我們知道: 『先穿襪子，再穿鞋子』與『先穿鞋子，再穿襪子』兩者結果不同 ，而『先穿衣服，再穿褲子』與『先穿褲子，再穿衣服』兩者結果相同。 而數學論述也是如此。 這個單元來跟各位聊聊數學論述中先後順序的關係到底是什麼意思。 Powered by Firstory Hosting