In der vorliegenden Arbeit werden die Weiterentwicklung des experimentellen Aufbaus zur 1S-2S-Zweiphotonenspektroskopie an atomarem Wasserstoff sowie die damit durchgeführten Messungen beschrieben. Die natürliche Linienbreite des dipolverbotenen 1S-2S-Übergangs ist mit 1,3 Hz sehr gering. Dieser Übergang kann durch Absorption zweier gegenläufiger Photonen bei einer Wellenlänge von 243 nm Doppler-frei angeregt werden. Für eine möglichst hohe Auflösung der Resonanz muß die den Übergang treibende Strahlung eines frequenzverdoppelten Farbstofflasers, dessen Fundamentale nahe 486 nm liegt, spektral schmal und stabil sein. Daher wird der Farbstofflaser auf einen Referenzresonator hoher Finesse stabilisiert. Der im Rahmen dieser Arbeit neu aufgebaute Referenzresonator wurde weitestgehend von Umwelteinflüssen entkoppelt, so daß die Drift des auf ihn stabilisierten Lasers nun weniger als 1 Hz/s und seine Linienbreite in 2 s weniger als 100 Hz bei 486 nm beträgt. Eine modifizierte Atomstrahlapparatur mit differentiell gepumptem Wechselwirkungsbereich und effizienterer Detektion der 2S-Atome erlaubt nun die Spektroskopie bei niedrigerer Lichtleistung und damit geringerer Verbreiterung des Übergangs durch Ionisation metastabiler Atome. Desweiteren können kältere Atome untersucht werden, deren Spektren kleinere geschwindigkeitsabhängige systematische Effekte aufweisen. Mit diesem Aufbau wurden Spektren einer Breite von nur 500 Hz bei 243 nm aufgenommen, was einer relativen Auflösung von 4x10^-13 entspricht. Nach Einführung einer differentiellen Meßmethode konnte die Hyperfeinaufspaltung des 2S-Niveaus in atomarem Wasserstoff erstmals mit optischen Methoden bestimmt werden, wobei das Ergebnis von 177 556 860(16) Hz den bisher genauesten Wert für diese Größe darstellt. Ein daraus abgeleiteter Test der QED gebundener Systeme bestätigt die Theorie auf einem Niveau von 1,2x10^-7. In Zusammenarbeit mit dem Frequenzkamm-Labor wurde die Frequenz des 1S-2S-Übergangs erneut gegen die transportable FOM-Cs-Fontände des BNM-SYRTE, Paris, absolut gemessen und zu 2 466 061 413 187 087(34) Hz bestimmt. Dies entspricht einer verbesserten relativen Auflösung von 1,4x10^-14. Im Vergleich mit dem Ergebnis der vorigen Messung aus dem Jahre 1999 und unter Berücksichtigung der Drift eines Uhrenübergangs in 199-Hg+ kann daraus erstmals eine obere Grenze für die relative Drift der Feinstrukturkonstanten von (-0,9 +- 2,9)x10^-15 pro Jahr abgeleitet werden, ohne daß zusätzliche Annahmen über die Stabilität der anderen Kopplungskonstanten getroffen werden müsssen. Diese Drift ist im Rahmen des Fehlers mit Null verträglich.